תיאור נתונים בגרפים - מבט קוגניטיבי ד"ר אסתר קאפח[i]
תוכן העניינים  יצוגים אלגבריים ויצוגים גרפיים הם שתי שיטות סימבוליות שביחד הן מייצגות את התפיסה המתמטית של פונקציה או גרף. משימת בניית גרף, כוללת ארבעה אלמנטים מרכזיים: הסיטואציה ( סידור הקונטקסט ), מיקוד ( לוקאלי, גלובאלי ), המשתנים ( קטגורי, אנטרוולי, יחס ) והפעילות ( בנייה, חיזוי, מיון, תרגום ודרוג ). במחקר הנוכחי נבדק ההבדל בהתמודדות תלמידי כיתות יא בשני סוגי שאלות גרפיות ולא גרפיות. כמו כן, נבדקה השונות בין בנים לבין בנות בכל אחד מסוגי השאלות, גרפיות ולא גרפיות. ממצאי המחקר נידונו במסגרת המאמר.
אוסף של נתונים, בחירה של תצוגה מתאימה, ההולמת את הנתונים ופרשנות של תצוגות אלה, הן כולן מיומנויות נפוצות כיום בעידן האינפורמציה. אלה הן מיומנויות בסיסיות שכל סטודנט נזקק להן. יתר על כן הן מספקות שיטות עבודה התומכות בטווח הרחב של פתרון בעיות ((shulte 1984. חשיבות הנושא נובעת ממספר גורמים: א. גוברת ההכרה בכח הארגון של תפישת הגרפים והפונקציות ממתמטיקה של חטה"ב ועד לנושאים יותר מתקדמים בתיכון ובאוניברסיטה. ב. רוב המחקר על למוד והוראת מתמטיקה מתרכז ברמות מוקדמות יותר של תוכן מתמטי. אולם, נושא פונקציות וגרפים בדרך כלל אינו מופיע עד השכבות הגבוהות בביה"ס היסודי או מאוחר יותר. ג. התלמיד משתמש במערכת סימבולית אחת כדי להרחיב ולהבין את האחרת, לדוגמא, פונקציות אלגבריות והגרפים שלהם. ד. שרטוט גרפים יכול להחשב אחד "מהרגעים" הקריטיים במתמטיקה מוקדמת. ה. שירטוט גרפי מהווה כלי מדעי. ו. פונקציות וגרפים לא היו מוקד לחקירה אינטלקטואלית על ידי הקהילה החינוכית עד לאחרונה.
יצוגים אלגבריים ויצוגים גרפיים הם שתי שיטות סימבוליות שונות לחלוטין, שיש להם כושר הבעה בדרך כזו שביחד הן בונות ומגדירות את התפיסה המתמטית של פונקציה או גרף. אנהלדר ופיאז'ה (1967) מציעים נוכחות של הבנה אינטואיטיבית של פונקציות. שני היבטים באים לידי ביטוי: היבט אחד הוא הייצוג המתמטי של פונקציה אלגברית. היבט שני הוא, הייצוג המדעי המתקבל מתצפיות על מערך נתונים נגישים למיון, לבחירה של כינויי ציר, להתאמת מבנה לגרף ואולי לפונקציה. פונקציות וגרפים מעניינים בתוכן הלימודי החינוכי, כיון שהם מכשיר רב עצמה לבחינת טבלאות של נתונים. בתפקיד זה השימוש רב העוצמה של המחשב בולט במיוחד. למשל, שפת הלוגו מסייעת לקירוב הלומדים לשרטוטים הגרפיים (1989 ,(Haigh. ומגבירה תוך כדי כך את יכולת פתרון בעיות של הלומד, את רמת היצירתיות שלו (בהיבט מקוריות) ואת יכולתו המטקוגניטיבית (מברך וקאפח, 1996). כלי אחר ידוע הוא הגליון האלקטרוני, המאפשר לעבוד עם נתונים משתנים, לבחון יחסים בין נתונים משתנים וליצור גרפים משתנים תואמים למצבים המתחלפים של הנתונים ובכך לספק גשר בין אלגברה וסטטיסטיקה ( 1984 ,shulte ).
טכנולוגיות כאלה חושפות את התלמידים למושגים מורכבים השייכים לגרפים בשלב הרבה יותר מתקדם של תכנית הלימודים. רוב הטכנולוגיות הגרפיות מספקות ייצוג גרפי של פונקציה ויכולות להציג בו זמנית לפחות שני ייצוגים, לדוגמא, משוואה וגרף, או זוג מספרים ונקודה על הגרף. חלק גם נותנים טבלת ערכים, שהם הנתונים, שהגרף בנוי עליהם ( 1990 ,(Leinhardt et al. גישת רוב הטקסטים היא התיחסות לשרטוט כהצגת מידע בדרך כלל בצורה של גרף מלבני, פיקטוגרמות, גרף עוגה, גרף קוי - פוליגון וגרף מוטות.
התהליך המנטלי הפועל במשימת בניית גרף משימת בניית גרף, כוללת ארבעה אלמנטים מרכזיים: 1. הסיטואציה (סידור הקונטקסט), 2. מיקוד (לוקאלי, גלובאלי), 3. המשתנים (קטגורי, אנטרוולי, יחס) 4. הפעילות (בנייה, חיזוי, מיון, תרגום ודרוג) Isenberg,& Dreyfus,1986) ; 1990 Leinhardt et al, ; Bell, Brekle, & Swan, 1987). הפסקאות הבאות יתמקדו בכל אחד מהתחומים שנמנו. 1. הסיטואציה: מתייחסת להקשר של הבעיה עצמה, אשר יכול להיות מעשי או מופשט. טבע הסיטואציה או אופיה משפיעים על הפרשנות. הסיטואציה מתייחסת לקונטקסט, לגרף, ולסידור שבו משתמשים בגרף. בדרך כלל קל יותר לתלמידים להתעסק בבעיות המתבססות על מצבים מוכרים, מאשר להתעסק בסיטואציות מופשטות (ליינהרדט וחבריה, 1990, מברך וקרמרסקי, 1991). 2. מיקוד: מיקוד מתייחס למיקום תשומת הלב במהלך משימה ספציפית. המיקוד בראש ובראשונה פנימי למערכת הקואורדינטות כלומר, הגרף ומרכיביו, הצירים, כינויים ודרוגיהם. חלק מהמשימות מדגישות את הפונקציה וצורתה או השתנותה בעוד שהאחרות מתמקדות במרכיבים פנימיים במרחב הגרפי. לדוגמא, פרבולה. אם משימה דורשת בניית גרף סכימטי ההתמקדות תהיה בצורת הגרף. לעומת זאת, משימה הדורשת בניית גרף כמותי תתמקד בנתונים, שמציג הגרף ולא בכיוונו הכללי. 3. משתנים: בגרפים דו-מימדיים המשתנים יכולים להיות באותה צורה או בצורות שונות, לפיהן מיחסים את התחום של היחידה אם היא קטגורית, סידורית, רציפה ( אינטרוולית ) או יחסית. 4. הפעילות: רוב הפעולות הקשורות למשימות גרפים ופונקציות ניתן למיין לשתי קטגוריות א. פרשנות (אינטרפרטציה) ב. בניה. א. המושג פרשנות ((Interpretation מתייחס לפעולה של הבנת ההגיון והמשמעות של הגרף. אינטרפרטציה יכולה להיות גלובאלית וכללית או מקומית וספציפית. כך תלמיד יכול להחליט על עקרונות של מגמה, לדוגמא, מה קורה לx- כאשר y גדל. המשכיות לדוגמא, אינטרפולציה או אקסטרפולציה של גרף. קצב לדוגמא, כיצד בקטריה משתנה כל שעה בטמפרטורה קבועה. ב. המושג בניה ((Construction מתייחס לפעולה של יצירת משהו חדש, כלומר בניית גרף או שרטוט נקודות בהתאם למערכת נתונים. במובן המלא בנייה קשורה במעבר משורות נתונים דרך תהליך של מיון, כינוי של צירים, בחירת הסולם, זיהוי היחידה ושרטוט הנקודות. בעבר הבניה היתה מייגעת, שרטוט של נקודה אחר נקודה. עם התקדמות הטכנולוגיה, חלקים מפעילויות אלה יכולות להתבצע על ידי המחשב בדרך גלובאלית יותר. בניה שונה מאינטרפרטציה, בעוד שאינטרפרציה מסתמכת על נתונים ודורשת תגובה לקטע נתונים (גרף, משוואה או מערך נתונים), בניה דורשת בנייה של חלקים חדשים, שאינם נתונים. בנייה, כמו אינטרפרציה, יכולה להיות מקומית או גלובאלית. מקומית - לשרטט מספר נקודות. גלובאלית - השלמת גרף כשנתונות מספר נקודות. בניה יכולה להיות כמותית כגון, קבע את המקדמים a וb- במשוואה y=ax+b כשניתנות שתי נקודות המתאימות למשוואה. או איכותית שרטט גרף המציג מצב. הן בניה והן אינטרפרטציה מתגוונות בהתאם למאפיינים שאליהם מתייחסים: מקומי, גלובאלי, איכותי, כמותי. אך בעוד שאינטרפרטציה אינה דורשת שום בניה. בניה פעמים רבות מתבססת על סוג כלשהו של אינטרפרטציה. באופן כללי משימות אלה ניתנות לחיזוי, למיון, תירגום ודירוג.
חיזוי: הכוונה לפעולה של השערה מחלק נתון של הגרף לדוגמא, היכן נקודות אחרות (שאינן נתונות בבירור) צריכות להיות ממוקמות. חיזוי יכול להתרחש גם כאשר אנו משערים כלל לפי מספר דוגמאות שלו. במרכז רוב משימות החיזוי ישנה פעולה של בניה היכולה להתבצע הלכה למעשה או בחשיבה.
מיון : המושג מיון מתייחס לפעולות החלטה הקשורות לשאלה האם קשר מסוים הוא פונקציה (היחס יכול להיות מיוצג בכל צורה: גרף, כלל אלגברי, דיאגרמת חיצים). כמו"כ כולל המיון זיהוי הפונקציה בתוך הקשרים אחרים. וזיהוי סוג מסויים של פונקציה בין פונקציות נתונות. בתצפית שערכה ירושלמי על שני שיעורים ראשונים של תלמידים בגיל 14 גילתה כי, כאשר חסר היה לתלמידים ידע אלגברי פורמאלי, בבואם למיין משפחות של פונקציות. פיתחו התלמידים שיטות אינטואיטיביות לסיווג פונקציות וגרפים, כגון, השוואות גיאומטריות, והשוואות סמליות בין צורות ההבעה.
תרגום : בתרגום מתייחסים בעיקר לשלוש הפעילויות הבאות: א. פעולה של הכרת אותה פונקציה בצורות שונות של יצוג. ב. משימת התאמה הדורשת היזון חוזר מהיצוג הגרפי ליצוג האלגברי. כל צד מערב תרגום מאפיינים גרפים למקדמים אלגבריים לדוגמא, במשוואה y=ax המקדם b הוא 0 לכן, הקווים הישרים שמתאימים למשוואה חייבים לעבור דרך ראשית הצירים. ג. בניה של יצוג אחד של פונקציה כאשר, נתון יצוג אחר או בנית יצוג גרפי של מערכת נתונים.
דרוג ((Scaling: משימת דרוג דורשת תשומת לב מיוחדת לצירים, לסולמות שלהם וליחידות הנמדדות. התלמיד יצטרך להחליט לדוגמא, האם מספר היחידות שכל הפסקה מיצגת הוא 1 , 2 , 3 וכן הלאה, והאם ציר x וציר y צריכים להשתמש באותו דרוג. כאשר דרוגים משתנים בשביל שרטוט הנקודות לאותה פונקציה התמונה המתקבלת יכולה להיראות שונה. נושא הדרוג הופך להיות חיוני כשמשתמשים בטכנולוגיות גרפיות. רוב משימות התרגום ומשימות הדרוג מתקשרות לאינטרפרטציה או למשימות בניה. גרף לא יכול להתפרש במלואו בלי לקחת בחשבון את הדרוג שלו. הבנה מלאה של יצוגים גרפיים משמעותה להכיר אלו מאפיינים ויזואליים של גרף לא ישתנו אחרי שנוי הדרוג ( יחסי x ו y ). ואלו מאפיינים ישתנו כאשר הדרוגים ישונו (מצריך התיחסות לזויות הגיאומטריות, שהגרף יצור עם כל אחד מהצירים).
קלימנטס (1989) טוען שפרשנות ובנייה של גרפים מערבות שני סוגי אסטרטגיות: דינמית וסטטית. אסטרטגיות סטטיות מתייחסות למשימה של צפייה בגרף כאוסף של נקודות מבודדות, בעוד שאסטרטגיות דינמיות מתייחסות לצפייה בגרף כמייצגות מגמות ודגמים של שינויים. אופי הגישה הדינמית מערב שימוש של פרספקטיבה גלובאלית, להבדיל מן הגישה הסטטית, שהיא יותר לוקאלית (1990 ,(Leinhardt et al. מכל מקום שני המימדים באים לידי שימוש בפרשנות של גרפים.
קשיי תלמידים ותפיסות מוטעות ביחס לגרפים הגישה המתימטית לעיתים אינה תואמת את העולם האמיתי של השלכות, המעוצבות כדי להעמיק את הבנת התלמידים בתכנים המתימטיים המופשטים ואולי להעלות את מוטיבצית התלמידים על ידי נתינת משמעויות קרובות ורלוונטיות לבעיות שהם פוגשים. מצד שני רוב המורים למדעים משרטטים גרפים ופונקציות כיצוגים של תצפיות אמיתיות וככלי ניתוח למעקב אחרי מגמות המספקות מידע לצופה והלומד על התופעה הנחקרת. אחת ממטרות ההוראה הינה לעזור לתלמיד לבסס תכנים כבדי משקל בפונקציות, גרפים ושרטוט גרפים. כגון: א. פונקציות מתארות התאמה של יחסים בין משתנים. גרפים עוזרים להציג חלקים נבחרים מיחסים אלה. ב. הקשר בין הנוסחה האלגברית לתיאור הגרפי. ג. כיווניות במערכת צירים. הסימן של השיפוע מעיד על הכיוון (סימן שלילי - גרף יורד, סימן חיובי - גרף עולה).
בבחינת תהליכי הלמידה האספקט הראשון של הסיטואציה הוא המסגרת, שבה המשימה מוצגת כמו שעורי מתמטיקה או פעילות במעבדה מדעית בתחומים שונים כמו פזיקה וביולוגיה. האספקט השני של הסיטואציה הוא ההקשר של הבעיה עצמה, שיכול להיות מוחשי או מופשט. בתהליכי הלמידה של התלמידים ניתן להבחין בקיומם של: אינטואיציה, קשיים ותפיסות מוטעות. אינטואיציות הם המאפיינים של ידע התלמידים הנובע בעיקרו מנסיון היום יום (1991 ,(Yerushalmy. תפיסות מוטעות, מוגדרות כמאפיינים לא נכונים של ידע התלמידים בתחום פונקציות וגרפים, למשל, תפיסת מושג הפונקציה עלול להיות מוגבל בגלל מחסור במגוון דוגמאות הניתנות ללימוד. תפיסות מוטעות יכולות לנבוע מידע בלתי פורמאלי והוראה, שאינה מקדישה תשומת לב לנושא.
משימות מעשיות בדרך כלל נשענות על ההנחה, שקל יותר לתלמידים להתעסק בבעיות המתבססות על מצבים מוכרים, מצבים שהתנסו בהם או מצבים, שיכולים להתקשר בדרך מסויימת למשמעותם מאשר להתעסק בסיטואציות מופשטות. מורים וחוקרים פעמים רבות מעצבים את משימותיהם על ידי בחירת מקרים רציונליים או מצבים מורכבים במיוחד על מנת לבדוק אם התלמיד מופרע על ידי מאפיינים לא רלוונטים, או מבולבל על ידי גרירה מלאכותית או ויזואלית. לדוגמא, מציגים בל, ברקל, וסואם (1987) שרטוט של גרף המציג את המהירות של מכונית המתחרה כפונקציה של המרחק לאורך המסלול. במקרה זה הגרף יכול להיות נתפס בטעות כמסלול מעשי שמכוניות נוהגות בו, כך שתלמידים מתפתים לפרש את העקומות בגרף כיצוג של פיתולים לאורך מסלול. לנהרדט זסלבסקי וסטיין (1989) מצאו את הסיבוך האיקוני עם גרפים בראיונות, שערכו לתלמידים מסיימי כתה ה'. תרגום עשוי להתבצע בצורה לא מדויקת בשל בלבול בסימן הסימבולי. רוב הממצאים מעלים כי למיון משימות של תלמידים יש ראיה מאוד מוגבלת על צורות של גרפים, אולי אין זו צפיה מוטעית אלא תוכן חסר. חוץ מזה יש לתלמידים מושגים לא מושלמים, על מהותה של פונקציה. תוצאות מחקרים מראים, שיש לתלמידים בעיות כאשר יש ליצור מערכת של שני צירים, תלמידים רבים חשבו, שלגיטימי לבנות סולמות שונים לחלק החיובי ולחלק השלילי של הצירים (ליינהרדט וחבריה, 1989). יש תלמידים החושבים, שסולם x וסולם y חייבים להיות סימטריים. המושג משתנה הוא מושג יסודי בהבנת תלמידים את היחסים הפונקציונלים בין טבלאות נתונים וגרפים ואת היצוגים הגרפיים בהקשרים שונים. ירושלמי (1991) מעירה, שתלמידים יכולים להכיר, לזהות ולמיין גרפים בדרגת קושי גבוהה יותר מאשר אלה, שהם יכולים לבנות או ליצור. תצפיותיה תוך מעקב אחר ביצועי תלמידים הראו כי, בשל החיסרון בידע פורמאלי באלגברה ובשל הצורך לנסח במהירות את המימצאים החזותיים התלמידים פיתחו מספר פתרונות נאיביים ובלתי צפויים באשר לסיווג הגרפים והפונקציות. מימצא זה חוזר ועולה גם במחקר של מברך וקרמרסקי (1991). במחקר הנוכחי נבדק ההבדל בהתמודדות תלמידי כיתות יא בשני סוגי שאלות גרפיות ולא גרפיות. כמו כן, נבדקה השונות בין בנים לבין בנות בכל אחד מסוגי השאלות, גרפיות ולא גרפיות (ראו הסבר להלן).
נבדקים: 139 תלמידי כיתות יא' משבעה בתי ספר תיכוניים שונים ברחבי גוש דן. 100 בנים ו- 37 בנות (מגמת פיזיקה מאוכלסת ברובה על ידי בנים). כל הכיתות למדו לקראת בחינת בגרות.
מערך המחקר: תוכנן מערך פקטוריאלי המתיחס לשלושה גורמים: א. תוכנית לימודים בפיזיקה המופעלת על ידי משרד החינוך והתרבות. התוכנית הנלמדת הועברה במתכונת הוראה של 5 יחידות בגרות במקצוע פיזיקה. ב. רמת הידיעות של התלמידים תוך הבחנה בין שאלות גרפיות לבין שאלות לא גרפיות הכלולות בתכנית הלימודים בפיזיקה. ג. נבדקה השאלה האם יש הבדל בין הבנים לבין הבנות בכל אחד משני סוגי השאלות (שאלות המערבות פונקציות וגרפים ושאלות, שאינן מתיחסות לכך).
כלי המחקר: שאלון השגים אשר הכיל 34 פריטים. השאלון כלל שאלות המתייחסות לחמישה תת נושאים: א. מכניקה. ב. חום ואנגיה קינטית. ג.אור, קול וגלים. ד. מגנטיות. ה. פיזיקה גרעינית. בניתוח גורמים, שנערך על השאלון נמצא כי הוא כולל 13 גורמים. לצורך ניתוח סטטיסטי מויינו השאלות לשני סוגים מרכזיים: שאלות הקשורות לפונקציות וגרפים, שיקראו להלן "שאלות גרפיות" ושאלות, שאינן מתיחסות לפונקציות וגרפים - "שאלות לא גרפיות". השאלון כלל 14 שאלות גרפיות ו 20 שאלות לא גרפיות. במחקר הנוכחי נמצא כי, אחוז השונות המוסברת על ידי השאלות הגרפיות 5.3% ואחוז השונות המוסברת על ידי השאלות הלא גרפיות 11.58%.
בוצעו שני מבחנים סטטיסטיים מבחן פקטוריאלי לבדיקת השאלון כמפורט לעיל. ומבחן t-test להשוואה בין השאלות הגרפיות לבין השאלות הלא הגרפיות של השאלון. כמו כן נערך מבחן t-test נוסף להשוואה בין הבנים לבין הבנות ביחס לשאלות הלא גרפיות. הטבלה הבאה מציגה את הממוצעים וסטיות התקן, שהתקבלו בשני סוגי השאלות.
קיים פער משמעותי בין שני סוגי השאלות. הטבלה מראה כי ההשגים הגבוהים ביותר ניכרים בשאלות הלא - גרפיות. התלמידים התקשו יותר בפתרון השאלות הגרפיות מאשר בפתרון השאלות הלא גרפיות. ניכרת שונות רבה בין התלמידים בהתייחס לשאלות הלא - גרפיות.
באשר לשאלת המחקר השנייה, נבדקה רמת הידיעות של הבנים לעומת הבנות במבחן: t-test תוך הבחנה בין שני סוגי השאלות הגרפיות והלא - גרפיות. טבלה מספר 2 מציגה את התוצאות המבחינות בין בנים לבנות בכל סוג מסוגי השאלות:
P<0.05
טבלה זו מורה כי, הישגי הבנים גבוהים יותר מהישגי הבנות בשאלות הגרפיות וגבוהים יותר מהישגי הבנות בשאלות הלא גרפיות. הישגי הבנים נמוכים באופן משמעותי בשאלות הגרפיות בהשוואה לשאלות הלא גרפיות. הוא הדין לגבי הישגי הבנות.
מתברר כי לתלמידים חסרה ההכנה להבנה של ביטוי מערכי נתונים בעזרת גרפים. המחקר הנוכחי מצביע על פער משמעותי בין פתרון השאלות הגרפיות לבין פתרון השאלות הלא גרפיות הן על ידי הבנים והן על ידי הבנות. על אף מגבלות המחקר הנוכחי (ראו להלן) שנעשה בקונטקסט של פיזיקה הוא מאשר את אשר נמצא במחקרים אחרים בקונטקסט של מתמטיקה (ירושלמי, 1991; לנהרדט וחבריה, 1990; מברך וקרמרסקי, 1991). מחקרים אלה התיחסו לבעיות בהם נתקלו התלמידים בבואם לפתור מטלות גרפיות. כלומר, תלמידים מתקשים בבניית גרפים ובקריאת גרפים. למרות ששרטוט גרפים נחשב כפרק בסיסי בתכנית לימודים במתמטיקה, שיש לו השלכות יישומיות גם למדעי הפיזיקה, הטבע והגיאוגרפיה, מחקרים מראים שהבנת התלמידים בנושא מאוד מוגבלת (ירושלמי, 1991; לנהרדט וחבריה, 1990). הקשיים, שנסקרו במחקר הנוכחי מגלים בעיות למידה במספר תחומים עיקריים: א. נטיה לקבעון בצורת הגרף ב. התמקודת בנקודות ג. קושי עם הפשטות של הגרפים.
מימצאים אלה עולים בקנה אחד עם מימצאי מחקרים קודמים כגון, ז'נבייר מצא כי, התלמידים מגלים קשיים כאשר הם מתבקשים להחליף בין אופנויות הצגה שונות. אחרים מבלבלים קריאת גרף עם תמונה או מפה (ז'נבייר,1981). ירושלמי (1991) נתנה לתלמידים משימה ממוחשבת לאחר שהתלמידים התנסו כבר עם פונקציות גרפיות בנייר ועיפרון. תוצאות המשימה הראו החמצה ממוצעת של התאמה נכונה בין הגרפים והפונקציות שלהם ב 65%. ההנחה היתה שהתלמידים יוכלו להבדיל בין פונקציות לינאריות לבין פונקציות לא לינאריות ולזהות פונקציות מיוחדות אשר הוסברו בכתה. התוצאות העידו, שהתלמידים היו מעונינים יותר בגורמים נוספים בתיאור הפונקציות כגון: סמטריה, הטיות, המיקום על הרשת ורציפות לעומת אי רציפות. קשרים אלו הובילו לטעויות שונות.
לאור זאת מומלץ ללמד באופן שיטתי ומובנה נושא זה כחלק מתוכנית הלימודים בפיזיקה, ולא לסמוך על ידיעות, שיביאו התלמידים ממתמטיקה. נוסף לכך יש לשרש תפיסות מוטעות אצל ילדים ומאידך, לחזק בהם את אופנות השימוש בגרפים בדיסיצפלינה הנוכחית, ביחוד לאור העובדה, שתחום הגרפים משמש ככלי תיאורי נפוץ והולך במדיה המחשבית כדוגמת השימוש בגליון האלקטרוני להערכת סדרות נתונים לפתרון בעיות ולהצגת תיאור ויזואלי בגרפים (1987 ,Lee & Soper). במקום להתחיל ממשימות, שדורשות מתלמידים לקרוא ולשרטט נקודות בודדות על מערכת צירים. יש להציג לתלמידים גרפים איכותיים של מצבים מעשיים קונקרטיים ולדרוש להסתכל עליהם בצורה כוללנית במקום בצורת נקודות (בל וז'נבייר, 1981). במילים אחרות צריך לעודד תלמידים להתייחס לגרף כולו כבטוי ליחס בין שני משתנים, המשתנים בו זמנית ולבטא יחס זה במילים יותר מאשר במספרים. לגישה איכותית זו יש יתרון ברור של תמיכה בהגיון הפשוט של התלמידים באינטואיציות שלהם ובאסטרטגיות של בדיקת המציאות (גולדנברג, 1988).
יש לבסס את ההבנות החבויות אודות המושג פונקציה ולהדגיש את הנקודות הבאות: א. משתנה נתון יכול לקבל ערכים שונים. ב. נקודות ההתחלה של הפונקציה יכולות להישתנות. ג. ניתן להסיק כל אחד מארבעת הגורמים במשוואת הקו הישר (המשתנים X , Y והפרמטרים A , B ) בהינתן שלושת הגורמים האחרים. ד. נקודות, שנמצאות על הישר מקיימות את משוואתו. ה. הקשר בין טבלת נתונים ספציפית לגרף. ו. ההתאמה בין היסודות הגרפיים של הקו לבין המשוואה האלגברית ז. המשמעות הגרפית והאלגברית של השיפוע.
מורים חייבים להיות מודעים לקונפלקטים הקיימים בערכים המוחלטים והסימנים הנראים היטב בגרף. ולפתח בתלמיד את התחושה של הנוף הגרפי והיכן לחפש את המידע המבוקש.
מגבלות המחקר המדגם במחקר זה אינו מספק. המדגם של הבנות קטן עד
כדי שליש ביחס למדגם הבנים. והמדגם כולו קטן יחסית. כמו כן, המימצאים המובאים בפרק
התוצאות, מציגים היבט מצומצם של נושא הגרפים, שהוא נושא רחב בהיקפו.
Bell, A., & Janiver, C. (1981). The interpretation of graphs representing situations. For the Learning of Mathematics. 2, 34-42. Bell, a., Brekle,G. & Swan, M. (1987). Diagnosting teaching: 4 graphical interpretation. Mathematics Teaching, 119, 56-59. Clement, J.(1989). The concept of variation and misconceptions in Cartesian graphing. Focus on Learning Problems in Mathematics, 11, 77-87. Eisenberg, T. & Dreyfus, T. (1986). On visual versus analytical thinking in mathematics. Psychology of Mathematics Education, 1, 190 - 196. Goldenberg, P. E. (1988) Mathematics, metaphors and human factors: mathematical, technical and pedagogical challenges in the educational use of graphical representation of functions. Journal of Mthematical Behavior, 7, 135-173. Lee, W. M. & Soper, J. B. (1987) Using spreadsheets to teach statistics in geography. Journal of Geography in Higher Education, 11(1), 27-33. Haigh, W.E.(1989) Statistical graphs and logo, School Science and Mathematics, 89(3) 228 - 238. Inhelder, & Piaget,(1967) The Growth of Logical Thinking, Chop 17, 272 - 334. Janiver, C.,(1981)Use of situations in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 12, pp. 113 - 122. Leinhardt, G., Zaslavsky, O. & Stein, M. K., (1990). Functions, graphs, and graphing: tasks, learning, and teaching, Review of Educational Research, 60(1), 1-64. Mevarech, Z. R., & Kramarski, B. (1991c). Gaining sense of graphs in different instructional environments, Bar-Ilan university, ISRAEL. Mevarech, Z. R., & Kapa, E. (1996) The effects of a problem-solving based LOGO environment on children’s information processing components, British Journal of Educational Pseychology, 66, 181-195. Shulte, A.P.(1984)Plotting and predicting from pairs Mathematics Teacher, 422 - 465. Yerushalmy, M. (1991). Students perceptions of aspects of algebraic function using multiple representation software, Journal of Computer Assisted Learning, 7 (1), 42-56.
**** |
|
|